Definizione

 

La temperatura può definirsi come una grandezza fisica misurata dai termometri che connota la capacità dei corpi di produrre, nell’esperienza quotidiana, sensazioni di caldo o di freddo e implicitamente il verso del passaggio del calore  da un corpo all’altro. Ancora fissata una scala cui riferire le indicazioni dei termometri, si può definire temperatura di un corpo come quella grandezza misurata dai suddetti termometri che si trovino in equilibrio termico con esso. La scala più comunemente usata è quella centigrada Celsius) dove il valore 0 ed il valore 100 corrispondono rispettivamente alle temperature del ghiaccio fondente (punto triplo) e dell’acqua bollente alla pressione atmosferica. Un grado centigrado, 1°C, corrisponde alla centesima parte di questo intervallo di misura, ipotizzando che la lettura sia lineare con la grandezza misurata.Tale ipotesi è  assunta essere abbastanza soddisfatta  riferendosi ad esempio  alla proprietà di certi corpi di dilatarsi all’aumentare della temperatura e misurando tale dilatazione.

 

La scala Fahrenheit (ancora usata negli Stati Uniti) fa corrispondere la misura in 
gradi °F (t_(°F)) a quella in gradi °C (t_(°F) ) attraverso la relazione

 

1)         t _(°F) = 32+9/5 t _(°C)

 

I primi termometri sono stati realizzati da Galileo.

 

Temperatura assoluta e suo significato termodinamico

 

Fondamentali esperienze ed elaborazioni teoriche del 19° secolo hanno portato a questa conclusione fondamentale: la temperatura di un corpo è espressione di quella parte della sua energia interna specifica, cioè di energia riferita all’unità di massa, che è dovuta all’agitazione termica delle molecole che lo compongono.

 

Il calore scambiato non è altro che scambio di energia termica di agitazione molecolare da un corpo all’altro.

 

Vale la fondamentale relazione:

           

2)         Q = U + L  (1° Principio della termodinamica)

 

Cioè, il calore scambiato (assorbito se >0), Q, da un corpo, si traduce in un aumento della sua energia interna U  ed in un lavoro L prodotto sull’ambiente esterno se positivo, subito dallo stesso ambiente se negativo. Con ciò il calore, l’energia interna ed il lavoro rappresentano tutti varie forme di energia  trasmutabili l’una con l’altra ed il totale si conserva di modo che, in particolare, se non vi è assorbimento di calore né variazione di energia interna, non vi può essere produzione di lavoro (impossibilità del motore perpetuo di prima specie) .

 

Se il lavoro è nullo e non vi è mutazione di fase o di composizione chimica, si ha che Q = U =  C_v  t, dove con t si è indicata la variazione di temperatura in una certa scala ad esempio in quella  centigrada. Cioè il calore scambiato è proporzionale alla variazione della temperatura  attraverso in coefficiente C_v = Calore specifico a volume costante.

 

L’esistenza di una scala assoluta delle temperature scaturisce dalle considerazioni seguenti

 

Comportamento dei gas perfetti

 

La pressione , la temperatura  ed il volume di una mole di gas (cioè di una massa di gas pari alla sua massa molecolare espressa in g) alle condizioni ordinarie, soddisfano con buona approssimazione all’equazione dei gas perfetti:

 

3)         p V_M = C f(t)

 

Dove p è la pressione in pascal, V_M il volume della mole in m³, C una costante universale ed f (t) una funzione della temperatura espressa ad esempio in gradi centigradi, t. Se manteniamo costante il volume V_M, la relazione 3) fornisce, per una temperatura prefissata t₀ ed una temperatura variabile t: 

 

4)         p(t₀)V_M = C f(t₀)          

 

5)         p(t) V_M = C f(t)

 

e dividendo membro a membro:

 

6)                 p(t)/P(t₀) = f(t)/f(t₀) => p(t) = p(t₀)/f(t₀)f(t)

 

cioè

 

6’)       p(t) = k₀ f(t),  con k₀ = costante.

 

  e la pressione è proporzionale ad una funzione definita della sola temperatura.

 

I rilievi sperimentali ottenuti misurando la pressione di un gas mantenuto in un volume costante al variare della temperatura dimostrano che la f(t) è lineare con la temperatura t, cioè è una funzione del tipo: f = at + b. Con ciò la 3) diventa :

 

7)                 PV_M = C (at + b)   = C a (t + b C/a)

 

La stessa cosa avviene per il volume della mole qualora sia mantenuta costante la sola pressione.

 

Assumendo t+bC/a come nuova espressione della temperatura e denominandola  T  (temperatura assoluta espressa in gradi  Kelvin,  K ) e ponendo C a = R si ha la classica formula dovuta a  E. Clapeyron

 

8)         pV_M= RT

 

dove  b C/a risulta pari a 273,15 da cui  T = t + 273,15 e Ca = R assume il valore di  8,31 J/mol K

 

Questa formula è detta equazione dei gas perfetti.

 

La 8) diventa per n moli di gas

 

9)            pV = n RT,

 

dove V = volume totale del gas

 

 

Nel XIX secolo R. Clasius e J.C. Maxwell hanno elaborata una teoria statistica dei gas perfetti che ha permesso  di correlare la temperatura assoluta T di un gas  alla velocità quadratica media v_m  delle sue particelle.

 

Si è trovato, nel caso di una mole di gas costituito da  molecole monoatomiche che  :

 

10)    pV_M = N m v_m² /3,

 

 dove :

 

N =  numero di Avogadro = numero di molecole costituenti la mole = 6,022 10 ²³

m = massa della molecola

<v²> = media del quadrato delle velocità

v_m = (<v²>)^1/2 = velocità quadratica media

 

Da cui,   l’energia cinetica media

 

11)    <E> = m v_m² /2 =3RT/2N = 3/2 K_B T

 

Con K_B costante di Boltzmannn = R/N = 1,38 10^-23 J/K

 

Cioè la temperatura T è direttamente proporzionale all’energia cinetica media delle molecole. Dalla equazione dei gas perfetti si vede che anche la pressione è proporzionale alla stessa energia cinetica.

 

Se il gas è costituito da molecole non monoatomiche si ha:

 

12)    <E> = f/2 K_BT

 

dove f = 3+n  con n = numero di atomi costituenti la molecola, rappresenta  il numero di gradi di libertà della molecola stessa.

 

In fisica atomica come in chimica è usuale usare come unità di misura dell’energia l’elettronvolt eV. Per definizione rappresenta l’energia cinetica  che assume un elettrone che passi attraverso la differenza di  potenziale di un volt (V). La carica di un elettrone Q  è pari a 1,602 10 ^–19  coulomb (C), l’energia corrispondente, VQ, è dunque pari a 1,602 10 ^–19  joule (J). Sostituendo tale valore nella 11) e ricavando T, si ottiene che 1 eV  di energia cinetica media delle molecole monoatomiche di un gas equivale ad una temperatura di ca 7739 K.

 

 

 

Rendimento termodinamico

 

Molto importante è un’altra definizione della temperatura assoluta.

 

Il rendimento del ciclo di una qualsiasi macchina termica operante tra due sorgenti di calore, aventi temperature centigrade rispettivamente pari a t₁e t₂ con t₁ > t₂, ha un massimo, legato solo alla temperatura, pari a:

 

13)     = L/Q1 = (Q1-Q2)/Q1 = 1-Q2/Q1 = 1- f(t₂)/ f(t₁)

 

dove:

 

 L =   lavoro prodotto

Q1 = calore assorbito dalla sorgente a temperatura t₁

Q2 = calore rilasciato alla sorgente a temperatura t₂

 

Risulta, se t è espresso nella scala centigrada, f(t) = t + 273,15 da cui ponendo T = f(t) = t+273,15  si ha :

 

14)       = 1- T₂/T₁   ed ancora 

 

15)               Q1/T1 – Q2/T2 = 0

 

Il rendimento è = 1 solo se la temperatura della sorgente più fredda  espressa nella nuova scala termodinamica  è pari a 0 K.

 

Tutte le macchine reversibili, cioè che operano attraverso dei cicli che avvengono mediante successivi stati di equilibrio e che utilizzano due sorgenti a temperatura T1 e T2, hanno lo stesso rendimento dato dalla 12), rendimento che si può determinare direttamente dal ciclo di Carnot dei gas perfetti. In tutti i casi reali, che sono irreversibili, il rendimento è sempre inferiore.

 

L’identità dei rendimenti di tutti i cicli reversibili  che avvengono tra due determinate temperature deriva dal 2° secondo principio della termodinamica una cui formulazione (dovuta a lord Kelvin) stabilisce che:

 

E impossibile realizzare una macchina ciclica che  produca lavoro utilizzando una sola sorgente di calore (impossibilità del motore perpetuo di seconda specie).

 

Se ciò fosse possibile si potrebbe per attrito trasferire il lavoro, trasformato in calore, ad una sorgente a temperatura più alta, violando così l’altra formulazione del 2° principio (dovuta a R. Clausius) :

Non è possibile trovare un dispositivo che faccia passare del calore da una sorgente ad una determinata temperatura ad una posta ad una temperatura superiore, avendo ripristinato alla fine le sue esatte condizioni iniziali

 

 Dal secondo principio nasce il concetto di entropia, indicata usualmente con S, introdotto anch’esso da Clausius, variabile di stato, cioè legata solo  ai parametri termodinamici e chimici del sistema, la cui variazione per quanto concerne l’assorbimento di calore ad una data temperatura T è data da S = ?Q/T. Tale variazione è nulla per trasformazioni reversibili di sistemi isolati o per cicli reversibili come quello di  Carnot, si veda la 15), ma è sempre positiva nelle trasformazioni reali  (caratterizzate ad esempio da produzione di calore per attrito o da passaggio di calore per conduzione da un corpo a temperatura maggiore ad un corpo a temperatura inferiore). Nel senso più generale l’entropia, come indica la meccanica statistica, è una misura del disordine molecolare di ogni sistema, disordine che tende al valore massimo in ogni sistema isolato.

 Si è potuto dimostrare che per un sistema chiuso ed isolato cioè senza scambio di materia ed energia con l’ambiente :

 

16)      S =  K_B logW

 

Dove:

 

K_B = Costante di Boltzmann

W = Numero degli stati microscopici (velocità , posizione, .. , di tutte le molecole) compatibili con lo stato termodinamico del corpo

 

L’entropia aumenta sempre nell’universo ed è, in un certo senso, conseguenza della freccia del tempo.

 

Irraggiamento del corpo nero

 

Ogni corpo alla temperatura  T > 0 irradia energia elettromagnetica . La radiazione totale per unita di superficie  di un corpo ideale che assorba tutte le lunghezze d’onda (corpo nero) è data dalla formula di Stefan – Boltzmann

 

12)       M = sT⁴   (W/m²)

dove s è una costante indipendente dal corpo e dalla temperatura

 

L’irraggiamento ha un massimo di emissione per una lunghezza d’onda inversamente proporzionale temperatura assoluta T (legge di Wien)

 

13)       _(Mmax) = c/T

 

c = costante

 

Lo spettro di emissione (emissione specifica M per unità di frequenza) è dato dalla celebre formula di Planck

 

14)       M() = 8 p h ³/c³ exp (h /k_BT-1)  (W/(m² Hz))

 

dove:

 

= frequenza (Hz)

c = velocità della luce (m/s)

h = costante di Planck  (J)

K_B = costante di Boltzmann (J/kg)

 

 

Attraverso l’irraggiamento si può definire ancora la temperatura assoluta T.

 

 

Temperatura e Cosmologia

 

Il modello attualmente più accreditato di cosmogenesi è quello del “Big Bang”. L’universo all’origine era tutto  concentrato in un punto con temperatura e densità inimmaginabili (singolarità dello spazio e del tempo). Successivamente iniziò la violenta espansione che attraverso varie fasi, tra le quali se ne ipotizza anche una di espansione accelerata (la cosiddetta fase inflattiva), portò l’universo a temperature decrescenti e dimensioni sempre maggiori.

Come è noto da Einstein la materia si può trasformare in energia e viceversa, per cui nei primissimi istanti l’energia specifica, cioè la temperatura era così elevata che esisteva un equilibrio termodinamico  tanto tra l’energia dei fotoni data da h e l’energia cinetica delle particelle definita dalla loro temperatura (h <=> 2/3K_BT),  quanto tra tra produzione di particelle e la loro distruzione ad opera degli stessi fotoni iperenergetici (h <=>mc² , m = massa della particella, c = velocità della luce). Quando la temperatura diminuì sotto un certa soglia (1 miliardo di gradi) si poterono formare gli atomi, sostanzialmente di idrogeno ed elio, atomi ionizzati che formavano con gli elettroni liberi un plasma assolutamente opaco alla luce. Quando finalmente dopo circa un trecentomila anni  la temperatura scese ad alcune migliaia di gradi, il plasma si ricompose, e l’universo diventò trasparente alla luce che così potè percorrerlo per miliardi di anni quasi indisturbata. La scoperta ne 1965 da parte dei fisici Arno Penzias e Robert Wilson di una emissione radio con lunghezze d’onda millimetriche praticamente isotropa da tutta la volta celeste, confermando le previsioni di Alpher e Herman del 1948, dette una ulteriore rilevanza sperimentale all’espansione dell’universo e nuove argomentazioni a favore  del modello del Big Bang. Questa radiazione oltre ad essere estremamente omogenea in tutte le direzioni, ha uno spettro che  corrisponde in modo perfetto a quella di un corpo nero alla temperatura di circa 2,72 K (fig. a fianco). Essa costituisce l’ immagine  di quella sfera di plasma al momento della sua ricomposizione, immagine “raffreddata” non già per l’iterazione della radiazione con la materia ma per l’espansione dell’universo. Essa è una radiazione che ha subito uno spostamento verso il rosso, cioè un aumento relativo delle lunghezze d’onda, di circa 1000 e proviene dall’estremo  confine dell’universo attualmente osservabile.

Piccole variazioni, inferiori ad una parte su 100000, sono state notate dal satellite COBE (Cosmic Background Explorer) lanciato nel 1989 per studiare tale radiazione. Esse sono testimonianze di leggere disuniformità della temperatura e della densità del plasma primigenio, disuniformità che hanno ritardato localmente la ricomposizione elettronica modificando leggermente l’attuale spostamento verso il rosso. Tale disuniformità potrebbero aver dato origine, localmente, a contrazioni gravitazionali del gas cosmico mettendo in moto il processo che ha portato alla formazione delle galassie.

 

 

Nel prossimo numero:

 

Misura della temperatura

Temperature dei corpi celesti

Temperature dell’atmosfera terrestre