Genova        
Numero 22, anno VI        
luglio 2006        

     a cura di: Diego Rosa
     4. Parte

Abbiamo visto nel precedente articolo l’espressione dell’accelerazione totale di un punto P dotato di movimento indipendente in un sistema rigido in movimento

   1)   d² P/dt² = d²O/dt² + x d²i/dt² + yd²j/dt² + zd²k/dt + x’’i + y’’j + z’’k +2(x’ di/dt + y’ dj/dt + z’ dk/dt)

dove : d²O/dt² + x d²i/dt² + yd²j/dt² + zd²k/dt = a_t  è l’accelerazione di trascinamento cioè l’accelerazione, rispetto al sistema fisso, del punto se fosse solidale con il sistema rigido in movimento, x’’i + y’’j + z’’k  = a_r è l’accelerazione relativa del punto rispetto al sistema in movimento e 2(x’ di/dt + y’ dj/dt + z’ dk/dt) = 2(w^v_r ) = 2a_c è l’opposto dell’accelerazione di Coriolis a_cl .

L’ accelerazione di trascinamento del punto P, essendo ancora O l’origine del sistema di assi mobili e P0 la la proiezione ortogonale di P sull’asse istantaneo di rotazione e w il modulo di w, assume anche l’espressione :

   2)   a_t = a₀ +w’ ^(P-O)- w² (P-P₀)

Nel caso della Terra si può ipotizzare che w sia costante per cui scegliendo il polo O nell’asse di rotazione , a₀ e w’ sono nulli e si ha semplicemente:

   3)   a_t = - w² (P-P₀)

il cui modulo è pari a w²  R cos φ, con R il raggio terrestre e φ la latitudine.

L’accelerazione di trascinamento è semplicemente l’accelerazione centripeta proporzionale al quadrato della velocità di rotazione ed alla distanza perpendicolare del punto P dall’asse di rotazione stesso. L’accelerazione centrifuga opposta ad essa è diretta verso l’esterno della superficie terrestre ed essendo perpendicolare all’asse ha ovunque, salvo all’equatore, una componente tangenziale diretta, nel nostro emisfero, da N a S . Se la Terra fosse perfettamente sferica tale componente sarebbe pari a: a_t sen φ. Per tale accelerazione ogni massa sarebbe spinta a migrare verso l’equatore. Nelle prime fasi della sua formazione il globo terrestre era fluido e sotto tale forza si è deformato assumendo una forma all’incirca elissoidale in modo tale che la forza di gravità non fosse più diretta perpendicolarmente alla superficie ma avesse una componente tangenziale tale neutralizzare perfettamente quella dovuta alla forza centrifuga.

L’accelerazione di Coriolis, a_cl = - 2(w^v_r ), per la definizione di prodotto vettoriale è sempre diretta perpendicolarmente tanto alla velocità relativa v_{r che alla velocità di rotazione w.}

In un punto P della superficie terrestre il vettore w può essere sempre decomposto in un vettore w₁ perpendicolare alla superficie ed in un vettore w₂ tangenziale diretto secondo il meridiano del punto

  4)   w = (w₁ + w₂) 

Sicché abbiamo :

  5)   a_cl  = -2(w₁ ^v_r ) – 2(w₂ ^v_r)

a tale accelerazione corrisponde una forza: f_cl = m a_cl   

Inoltre è evidente che il modulo di w₁  è dato da w sen φ e quello di w₂ da w cos φ essendo ancora φ la latitudine del punto.

Risulta immediatamente che -2(w₁ ^v_r ) = γ_cl  se v_r è diretta tangenzialmente alla superficie, ha direzione orizzontale, perpendicolare a w₁ e diretta verso destra nell’emisfero N, a sinistra in quello S, di valore (modulo) costante al variare della direzione di v_r mentre – 2(w₂ ^v_r) ha direzione verticale e valore massimo con direzione della velocità relativa E-O, valore nullo con direzione N- S.

Cerchi di inerzia

L’accelerazione di trascinamento, abbiamo visto, ha la componente tangenziale alla superficie diretta verso S perfettamente equilibrata dalla componente tangenziale della gravitazione diretta verso N (nel nostro emisfero, nell’altro succede lo stesso scambiando il N con il S) . Sulla superficie terrestre si possono così individuare moti stazionari nei quali le forze dovute all’accelerazione relativa a_r  sono equilibrate da quelle indotte dall’accelerazione di Coriolis, a_cl. Le loro orbite, nel riferimento terrestre, sarebbero circolari, se trascurassimo la variazione della forza di Coriolis con la latitudine.
Sia f il parametro di Coriolis dato da da: f = 2 w sen φ,  fv = γ_cl è la componente orizzontale, diretta verso il centro, dell’accelerazione di Coriolis essendo v il modulo di v_r avente direzione tangenziale al cerchio di inerzia e verso orario nell’emisfero N. L’accelerazione relativa è quella centrifuga del moto circolare , diretta ancora secondo il raggio r ma in senso opposto di modulo modulo: γ_cl =  v² /r . In situazione stazionaria abbiamo l’equilibrio delle forze per unità di massa:

  6)   v² /r = fv

   da cui r = v/f

Alla latitudine di 45° f = 2 ∙7,29 ∙10^-5 ∙ 0.7 = 10^-4 , avendosi: w = 7,29 10^-5  rad/s e sen φ = 0,7. Se poniamo v =1 m/s deduciamo r = 10 km.

Accelerazione del gradiente orizzontale della pressione atmosferica

Consideriamo un parallelepipedo d’aria sulle cui 2 basi opposte e verticali S1 e S2 di sezione unitaria e distanziate di Δx si eserciti una pressione (perpendicolare ad esse) rispettivamente pari a: p e p + Δp. Per la legge di Newton il volume d’aria del parallelepipedo di massa pari a: Δx · ρ avendo indicato con ρ la densità, subirà un’accelerazione data da :

  7)   γ_G = - Δp/( Δx · ρ)

Il segno – indicando un verso diretto verso le x negative. Facendo tendere Δx a 0 otteniamo:

  )8   γ_G = - dp/dx ∙ 1/ ρ

Tale accelerazione è diretta secondo la direzione x, nel caso più generale secondo il gradiente di pressione orizzontale: G_{H =} grad p  cioè perpendicolarmente alle linee isobariche. Ricordiamo che data una grandezza, quale la pressione p, funzione delle coordinate x,y,z in un sistema cartesiano ortogonale cioè data p = p(x,y,z), grad p è il vettore: δp/δx i + δp/δyj + δp/δzk dove i, j, k sono i versori degli assi coordinati e δp/δx, δp/δy, δp/δz  sono le derivate parziali di p.

Si ha così la relazione vettoriale:

  9)   γ_G =  -grad p/ ρ

Si dimostra ancora facilmente che in un determinato punto γ_G è pari al prodotto dell’accelerazione di gravità g per la pendenza i della superficie isobarica.

  10)   γ_G = g i

Equazione del vento geostrofico

Nelle depressioni e negli anticicloni come in ogni moto rotatorio dell’atmosfera, se trascuriamo l’attrito, 3 forze in condizioni stazionarie si equilibrano : la forza dovuta all’accelerazione del gradiente di pressione γ_G, di modulo γ_G,la forza dovuta all’accelerazione di Coriolis γ_cl , di modulo γ_cl = fv e quella dovuta all’accelerazione centrifuga γ_C, di modulo γ_C = v² /r ,  tutte tali forze avendo una direzione perpendicolare alle isobare cioè, per traiettorie curve, diretta verso il centro di curvatura .
Si ha così su ogni unità di massa (le forze corrispondendo alle accelerazioni) l’quilibrio vettoriale delle forze:

  11)    γ_G + γ_cl + γ_C = 0

 cui corrisponde un’analoga equazione per i moduli i cui segni però devono essere scelti a secondo il caso di alte o di basse pressioni ( fig 1).

Fig .1 Forze agenti nelle depressioni e negli anticicloni

Nelle depressioni e negli anticicloni delle medie, alte latitudini, la forza centrifuga γ_C è di regola piccola rispetto alle altre due . In questo caso dalla 10) ponendo γ_C  = 0 si ha subito la velocità del vento detto geostrofico v_geo il cui modulo è = γ_G / f  =   ׀ grad p׀ ∙ 1/ ρf  , indicando con  ׀grad p׀   il modulo del gradiente:

  12)   v_geo = (1/ ρf) k ^ grad p

avendo indicato con k il versore della verticale ( diretta verso l’alto) nel punto. Tale relazione esprime bene la velocità dei venti reali per moti in larga scala lontano dall’equatore e dai centri di alta e bassa pressione, quando l’attrito è trascurabile (sopra gli oceani oppure per altezze maggiori di 2000 m).

Determiniamo, per avere un’idea dell’ordine delle grandezze in gioco, la velocità del vento geostrofico, al livello del mare ed alla latitudine di 60° N quando esista un gradiente orrizontale di pressione di 1 mb (100 hPa) su 1 grado meridiano (111 km). Abbiamo:

 γ_G  = 100/(111∙ 10³ · 1,3) = 0,69 10^-3 m/ s²  (1,3 = densità dell’aria presunta)

 f   =  2 ∙ 0,729 10^-4 · 0,86 = 1,26 10^-4  rad/s

 v   =   γ_G  / f = 6,9/1,26 = 5,47 m/s

Con tale velocità l’accelerazione centrifuga a 200 km dal centro depressionario sarebbe = v² /r = 0,14 m/ s²  pari 1/5 dell’accelerazione di Coriolis

Secondo S. P. Khromow a fronte dello stesso gradiente di 1 mbar per grado di longitudine, si avrebbero le seguenti velocità geostrofiche ( in m/s ) alle differenti latitudini:

Equazione del vento ciclostrofico

Allorquando la forza di Coriolis diventa trascurabile rispetto alle altre componenti, ad equilibrare la forza di gradiente in una depressione non resta che la forza centrifuga. Dalla 10) si ha subito:

  12)   v² /r = ׀grad p׀  /ρ

essendo il gradiente della pressione diretto dal centro verso l’esterno.
Ne discende .

  13)   v = √(r ׀grad p׀  /ρ).

In situazioni anticicloniche la forza centrifuga e la forza del gradiente di pressione hanno la stessa direzione per cui una situazione di equilibrio ciclostrofico non è possibile. Questa è la ragione per cui nei pressi dell’equatore dove la forza di Coriolis, proporzionale al seno della latitudine, tende a divenire trascurabile sistemi anticiclonici stabili non si costituiscono.

L’equilibrio ciclostrofico al contrario rappresenta bene venti ciclonici violenti a piccolo raggio di curvatura con aria calda e leggera come avviene nei cicloni tropicali, nei “tornados” americani e nelle trombe d’aria europee. In tali casi la forza di Coriolis è trascurabile a fronte delle forze del gradiente e delle forze centrifughe. Nei tornados e nelle trombe d’aria le velocità sono dell’ordine dei 200 km/h ed i raggi variano da 10 a 100 m.

Nei cicloni tropicali i raggi sono molto più grandi ( in generale variano dai 50 ai 100 km ) ma i venti superano ancora abbondantemente i 100 km/h e la forza di Coriolis è piccola perché essi si formano a latitudini che non superano i 20° di latitudine così che normalmente la forza centrifuga è 25 volte quella di Coriolis.

Vento di gradiente

Quando la forza di Coriolis e quella centrifuga sono ambedue significative si può parlare di vento di gradiente.

Riprendiamo la 10) esplicitando

  14)   v² /r +  fv + γ_G   = 0

E’ una equazione di 2° grado dove dobbiamo assegnare il segno ai coefficienti, positivo quando le forze (per unità di massa) sono dirette verso il centro. Calcoliamo le velocità di equilibrio distinguendo due casi : (1) bassa pressione, (2) alta pressione

(1) Bassa pressione γ_C sono negative γ_G è positiva e si ha risolvendo, tenendo conto della sola radice positiva (v è il modulo di v )

  15)   v = 1/2(- fr+√( f² r² +4 γ_G r )).

La soluzione è sempre possibile essendo la radice > di fr ed il discriminante positivo.

(2) Alta pressione

Coriolis è positiva, γ_C  e γ_G  sono negative e si ha :

  16)   v = 1/2(fr±√( f² r² -4 γ_G r  ))

Si hanno 2 soluzioni reale positive solo se f² r> 4 γ_G   cioè se  fr > 4 volte la velocità del vento geostrofico corrispondente. Il parametro di Coriolis essendo un dato del sito significa che avvicinandosi al centro dell’anticiclone il gardiente di pressione proporzionale a γ_G  deve ridursi per consentire l’equilibrio.

Tutto quanto detto vale quando le forze di attrito sono trascurabili.