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Genova        
Numero 62, anno XVII        
Novembre 2017        

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di Diego Rosa

 

Parte sesta

 Stabilità instabilità atmosferica
 

Abbiamo parlato nella parte precedente dei buchi neri come residui iperdensi dell’evoluzione finale di masse stellari maggiori di quella solare. La superficie che in qualche modo li delimita, chiamata superficie di Schwarzchild dal fisico e cosmologo Karl Schwarzchild che per primo la definì, è quella dall’interno della quale nessun oggetto né segnale elettromagnetico può sfuggire perché trattenuto dalla gravità . Su di essa la velocità di fuga è uguale alla insuperabile (Albert Einstein) velocità della luce nel vuoto, ca 300000 Km al secondo.

Fig. 1 - Isaac Newton. Woolsthorpe 1642, Londra 1727.
Uno dei più grandi matematici e fisici della storia. Fondò con Wilhein Leibniz il calcolo differenziale.

Fig. 2 - Schema meccanico dell’esperimento del fisico e chimico scozzese Cavendisch

La velocità di fuga da un corpo di massa m1 di un corpo di massa qualsivoglia si ricava molto semplicemente.

La forza di attrazione di due masse m1 e m2 la cui distanza tra i rispettivi centri di gravità è r, è data dalla celebre relazione di Newton

1)  F = G m1 m2/r2

Con G = costante di gravitazione universale.

La forza F che agisca su uno spostamento ds da un lavoro dL , espresso in termini differenziali da :

2)  dL = F ds

Il fisico e chimico scozzese Cavendisch (Fig. 2) nel 1785 calcolò la densità della Terra e determinò la costante G .
Dalla distanza r, dalla torsione Θ , dalla lunghezza del braccio L, dal coefficiente di torsione k e dal peso delle masse M ed m determinò il coefficiente G mediante la relazione:

 

FL =kΘL = LGMm/r2

Il lavoro della 1) dalla distanza r all’infinito è dato dall’integrale :

L’integrale pur avendo l’estremo superiore infinito ha un valore finito e con esso il lavoro per sconnettere il vincolo gravitazionale dei due corpi.

D’altro canto, dall’altra celebre relazione di Newton

4)  f = ma

che lega la forza f alla massa m ed all’accelerazione a = dv/dt del corpo e dalla definizione di lavoro
dl= f ds con ds = spostamento infinitesimo = v dt si ha :

5) dL = m dv/dt ( v dt) = m dv v

Che integrata da 0 a V da:

Questa e’ l’energia cinetica o forza viva del corpo di massa m2 e velocità V.

Uguagliamo ora la 3) alla 6) abbiamo:

7) Gm1 m2/r = 1/2 m2 V2  , Gm1 /r = 1/2 V2 , V = 2 (Gm1/r)1/2

V è la velocità di fuga del corpo in questione ed è indipendente dalla sua massa m2.
Chiediamoci ora, in modo puramente speculativo, a quale valore dovrebbe ridursi il raggio della terra (ca 6000Km) per diventare un buco nero.
La velocità di fuga sarebbe in questo caso pari alla velocità della luce.

Abbiamo:

G= 6,67 10-11 m3/(Kg s2)

m1 = 5,97 1024 Kg

V = 3 108 m/s

La 7) da  r =2Gm1/ V2  =  8,8 10-3 m

Un raggio inferiore al cm!

Fig. 3 - Jacob David Bekenstein
(Città del Messico, 1º maggio 1947 – Helsinki, 16 agosto 2015)
Ha contribuito alla fondazione della termodinamica dei buchi neri e ad altri aspetti riguardanti la connessione tra l'informazione e la gravitazione.

Ogni corpo che cadendo nel buco nero oltrepassasse il raggio di Schwarzchild (delimitante il così detto orizzonte degli eventi) recherebbe con sé la struttura, le informazioni, il marchio della sua struttura quantistica (ad esempio numero di barioni) ed un’entropia. Se queste venissero perse per sempre si violerebbe da una parte il fondamento della meccanica quantistica, dall’altra la seconda legge della termodinamica che stabilisce che l’entropia dell’universo non può mai diminuire. Da questi fatti J. Bekestein congetturò che i buchi neri hanno un’entropia proporzionale all’area dell’orizzonte degli eventi, entropia che in seguito Hawking determinò essere data dall’espressione:

8) S=KBA/4(lp)2

Con:

A = area dell’orizzonte degli eventi (m2)

Lp = lunghezza di Planck = 1,616 10-35 m

KB= Costante di Boltzman = 1,38  10-23 J/K

Che danno

9) S = 1,38 1046 A  J/K

Valore immenso anche per il mini buco nero “Terra” che con

A =   9,7 10-4 m2  da  S = 1,26 1043 J/K.