Sia dato un corpo rigido S, in cui individuiamo
un sistema di assi cartesiani x, y, z con versori risp.
i , j, k che
al tempo t ruoti attorno all’asse z. E’ immediato vedere che ogni
punto P di S percorre un cerchio attorno all’asse z giacente su un
piano perpendicolare a z ad una velocità pari al prodotto della
velocità angolare (espressa in radianti al secondo e pari alla
derivata dell’anomalia θ, fig. 1 che indichiamo con θ’) per il
raggio del cerchio PP0 = R
1) v = θ’ R
Indichiamo ora con w il vettore(detto
vettore velocità angolare) dato da θ’k che è diretto secondo
il versore k di z e ha grandezza θ’. Sia ancora
O il centro del sistema degli assi cartesiani e P-O il vettore
congiungente O a P
Fig. 1 Rotazione di un punto P di un corpo rigido
attorno all’ asse z
Per la definizione di prodotto vettoriale
abbiamo:
θ’k ^ (P-O) = w ^ (P-P0 ), essendo
(P-P0 ) , fig. 1, il vettore, perpendicolare a k ,
congiungente P a P0
(useremo” ^” per il prodotto vettoriale e “X” per
quello scalare)
Il modulo (o grandezza) di tale vettore prodotto
è pari a R θ’ cioè a v mentre la sua direzione è perpendicolare a
k.
Si ha così:
2) v = w ^ (P-O)
Dove O è un punto qualsiasi dell’asse z.
Derivata del punto P
Abbiamo, essendo ancora O l’origine del sistema
degli assi cartesiani :
P-O = xi+yj+zk
avendo indicato come d’uso con x, y, z le coordinate del punto P .
Possiamo scrivere anche:
3) P = O + xi+yj+zk
Interpretando così il simbolo P come l’estremo
del vettore P-O.
Se il punto P è funzione di un parametro t (ad
es. il tempo) si può mettere P = P(t) e si avrà x = x(t), y = y(t),
z =z(t). Queste relazioni rappresentano le equazioni parametriche
della linea l descritta da P al variare di t.
Diamo ora a t un incremento Δt . La nuova
posizione di P sulla linea l sarà P(t + Δt) ed il vettore
4) ΔP = P(t + Δt ) - P(t)
che rappresenta la corda sulla linea l diretta da
P a P(t + Δt), può definirsi come l’incremento di P al tempo t.
Il rapporto : ΔP/ Δt è definito come il rapporto
incrementale di P. Al tendere di Δt a 0, in simboli (Δt
→ 0 ), tale
rapporto può tendere a un valore limite chiamato derivata del
punto P rispetto a t e rappresenta la velocità istantanea di P
lungo la sua traiettoria al tempo t.
Indicata tale derivata come dP/dt o P’ si può
scrivere:
5) dP/dt = P’ = lim Δt→0 ΔP/ Δt
La direzione della corda P(t + Δt ) - P(t) tende
alla direzione della tangente alla linea l nel punto P
Formule di Poisson
Consideriamo ancora un corpo rigido dotato di un movimento qualsiasi
ed un punto P solidale con esso. Identifichiamo anche una terna di
assi cartesiani ortogonali fissi con centro in Ω , Ω( ζ η
ξ) ed una
solidale con il corpo in movimento con centro in O, O( xyz) (fig.2).
Fig. 2 Sistema di assi fissi ed assi solidali con
un corpo rigido
Come sopra abbiamo:
6) P = O + xi+yj+zk
Dove x,y, z sono le coordinate di P nel sistema
solidale ed i versori i, j, k sono funzioni del tempo
Derivando rispetto al tempo t si ha:
7) dP/dt = dO/dt + x di/ dt + y dj/dt + z dk/dt
essendo le derivate di x, y z nulle perché P è
solidale con il corpo.
Cerchiamo di determinare di/dt e le analoghe
derivate dei restanti versori.
Sappiamo che un vettore po’ essere espresso come
somma vettoriale delle sue componenti secondo gli assi coordinati;
in un sistema ortogonale tali componenti sono i prodotti scalari del
vettore stesso per i versori degli assi. Abbiamo così:
8) di/dt = di/dtXi i + di/dtXj j
+ di/dtXk k
(ricordiamo che ad es. di/ dtXi è un numero e di/
dtXi i è un vettore diretto secondo ie di grandezza pari a
di/dtXi )
inoltre si ha , essendo i versori di lunghezza
unitaria e due a due tra loro perpendicolari
9) i2 =1, j2 = 1,
k2 =1; i X j = 0,
j X k = 0, k
X i = 0 nonché i^i = 0 ed analoghi
Derivando e ricordando la forma della derivata
del prodotto di due funzioni valida anche per i prodotti scalari dei
vettori: (f g)’ = f’g+g’f e che la derivata di 1 e di 0 = 0,
abbiamo:
10) di/dt X i = 0, dj/dt X
j = 0, dk/dt X k = 0
(la derivata dei versori è perpendicolare ai versori stessi)
ed ancora:
11) di/dt X j +dj/dtX
i = 0, dj/dt X k + dk/dt X
j = 0, dk/dt X i + di/dt X
k = 0
La 8) diventa, tenendo conto che il primo termine
è nullo e sostituendo di/dt X k con - dk/dt·i :
12) di/ dt = di/ dt X
j j - dk/dt X i k
Abbiamo ancora che j = k^i, k =
i^j = - j^i e
sostituendo e raccogliendo i , dalla 12) si ottiene :
13) di/dt = (di/dt X
j k + dk/dt X i j) ^ i
Sommando al secondo membro il termine
identicamente nullo: dj/dt X k i^i
e rimaneggiando otteniamo:
14) di/t = ( dj/dt X
k i + dk/dtXi j + di/ dtXj
k) ^i
Abbiamo iniziato considerando il versore i che
non ha, per simmetria, alcun ruolo privilegiato nel discorso. Le
relazioni per j e k saranno così analoghe salvo la sostituzione
ciclica dei versori secondo lo schema:
i→j→k→i. Si verifica immediatamente che il
vettore rappresentato dall’espressione in parentesi resta invariato
mutando solamente la disposizione dei sui addendi . Denotiamo tale
vettore (funzione del tempo t) con w di componenti secondo gli assi
mobili p = dj/dt X k, q = dk/dtXi e r = di/ dtXj così otteniamo:
15) di/dt = w^i dj/dt =
w^j dk/dt = w^k
Queste sono le formule di Poisson, dal nome del
fisico, matematico ed astronomo francese della prima metà
dell’ottocento che per primo le dedusse...
Sostituendo le 15) nella 7) si ottiene:
16) dP/dt = dO/dt + w^ (xi+yj+zk )
ovvero indicando con v la velocità del punto P,
v0 quella del punto O solidale col corpo rigido ancora :
17) v = v0 + w ^ (P-O)
La 17) è l’ espressione fondamentale della
cinematica dei sistemi rigidi .
Confrontando con la 2) si può vedere che la
velocità istantanea di un punto P di un sistema rigido dotato di un
movimento qualunque è quella propria di un sistema animato da un
moto rototraslatorio con velocità di traslazione v0 e velocità
angolare di rotazione w attorno ad un asse passante per O e
parallelo a w ..
Le componenti di w ^ (P-O) secondo gli assi x, y,
z si ottengono eseguendo il prodotto vettoriale:
19) vx = u + qz - ry; vy = v + rx - pz vz = w+py
qx
essendo u, v, w le componenti di v0 .
Teorema di Coriolis
Ipotizziamo ora che il P non sia più solidale con
il sistema rigido in movimento, in tal modo le sue coordinate
(rispetto al sistema rigido) saranno funzioni di t : x = x(t), y =
y(t), z = z(t). La relazione 7) diventa, scrivendo x’= dx/dt , y’ =
dy/dt, z’ = dz/dt
20) dP/dt = dO/dt + x di/ dt + y dj/dt + z dk/dt
+ x’i + y’j + z’ k
In cui si evidenzia una velocità relativa
rispetto al sistema solidale con il corpo vr data da x’i + y’j + z’
k ed una del sistema rigido stesso rispetto agli assi fissi (velocità
di trascinamento) vt data da: dO/dt + x di/ dt + y dj/dt + z dk/dt,
di modo che si può esprimere la velocità assoluta di P come:
21) va = vt +
vr
Deriviamo ancora la 20) rispetto a t. otteniamo
ponendo x’’= (x’)’ ed analoghe, per le derivate seconde:
In tale fondamentale relazione l’espressione d2O/dt2 + x d2i/dt2 + yd2j/dt2 + zd2k/dt rappresenta l’accelerazione di
trascinamento, at che si avrebbe se il punto P fosse solidale con il
corpo rigido, x’’i + y’’j + z’’k l’accelerazione relativa
ar
rispetto agli assi y,y,z, mentre il vettore 2(x’ di/dt + y’ dj/dt +
z’ dk/dt) corrisponde al doppio dell’accelerazione complementare ac
e dipende dal moto relativo di P e dalla velocità di trascinamento .
Sostituendo a di/ dt, dj/dt, dk/dt le espressioni
ricavate indicate nella 15) tale vettore diventa:
23) 2 ac = 2(w ^ (x’i + y’j + z’
k)) = 2 w ^ vr e
la 22) assume la forma:
24) d2 P/dt2 = aa =
at + ar + 2 ac indicando con
aa l’accelerazione assoluta
che rappresenta il teorema di Coriolis. L’opposto
di 2 ac = -2( w ^ vr ) ed è detta accelerazione di Coriolis. . Tale
accelerazione è perpendicolare tanto a w che a vr ed è nulla in
particolare quando la velocità relativa è parallela all’asse di
rotazione cioè a w. E’ l’accelerazione misurata da un osservatore
solidale con gli assi mobili di un oggetto in moto inerziale
rispetto agli assi fissi ζ η ξ, quando l’accelerazione di
trascinamento è trascurabile. Tale accelerazione è diretta sempre a
destra del moto relativo in un sistema in rotazione antioraria, come
nell’emisfero N della terra.
