Genova        
Numero 37, anno X        
Agosto 2010        

di Diego Rosa

Parte prima

La statistica è una disciplina che avvalendosi di metodi induttivi e deduttivi provvede a ricercare e documentare numericamente le frequenze e le regolarità che si verificano in natura e nelle collettività umane. Il termine nacque alla fine del cinquecento per indicare valutazioni relative alle caratteristiche (sociali, economiche..) degli stati, ma la disciplina vera e propria si può far risalire agli inglesi J. Graunt e W. Pettey, fondatori dell' "aritmetica politica", nella seconda metà del 1600. Col progredire delle scienze l’indagine statistica fu estesa anche ai fenomeni naturali e con la nascita della meccanica quantistica essa si rivela il migliore, se non l’unico, approccio per la comprensione e la descrizione del microcosmo.
La statistica si presenta sotto due aspetti : come statistica descrittiva e come statistica deduttiva.
La statistica descrittiva è lo studio della variabilità di un fenomeno a partire da dati rilevati sull’intera popolazione (ad esempio: determinazione della temperatura media delle massime di un determinato anno), per contro la statistica induttiva, consiste nell’analisi dell’inferenza, cioè della possibilità di descrivere un fenomeno a partire dai dati di un campione, insieme parziale di dati di un’intera popolazione

Il calcolo delle probabilità

La statistica descrittiva nasce anche dalla necessità di prevedere dei fenomeni aleatori per confermare altresì dei modelli probabilistici via via definiti nel corso dello sviluppo della matematica.
I concetto di probabilità fu affrontato a partire dal cinquecento da Girolamo Cardano nel suo libro "Liber de ludo aleae", successivamente e più approfonditamente da Huygens nel suo "De ratiocinis in ludo aleae" primo libro stampato sulla materia (1657), da Bernoulli e De Moivre che introdussero il concetto di probabilità come limite, successivamente da P. Laplace nel suo "Théorie analitique des probabilités" in cui prefigurò l’applicazione dei concetti di probabilità alle scienze applicate. A Gauss ed a Laplace si deve la celebre curva "normale" o gaussiana. Nel secolo scorso fondamentali contributi dettero, tra gli altri, Markov, Von Mises, Kolmagorov, De Finetti.

Definizioni della probabilità

Della probabilità esistono tre definizioni:

La definizioni classica o logicista: la probabilità del verificarsi di un fenomeno è dato dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quelli possibili. Così, classicamente, la probabilità di avere "testa" nel lancio di una monetina è esattamente ½ = rapporto tra i casi possibili (2) e quelli favorevoli, (1), nel lancio di un dado quella di ottenere ad esempio 4 è esattamente1/6. In questa definizione i casi favorevoli sono ritenuti equiprobabili. Il calcolo combinatorio è il fondamento per la determinazione di tali probabilità

La definizione frequentista: la probabilità di accadimento di un fenomeno è la frequenza limite con la quale si presenta quando il numero delle prove di verifica n , tende all’infinito:

P = lim f_n quando n  

La definizione soggettivista: la probabilità è la posta che un giocatore sarebbe disposto a pagare per ottenere la vincita di 1 . Oppure: la probabilità di un evento è p se è indifferente ricevere la somma = p con certezza oppure la somma = 1 solo se l’evento si verificherà. Ad esempio, se mi è indifferente ricevere 100 euro od un biglietto (di 1000 venduti) di una lotteria per una vincita di 100000 euro, ritengo che la probabilità di vincita P sia 1/1000 = 0,001 . E’ questa la definizione base di tutta la teoria probabilistica di Bruno de Finetti.

La definizione assiomatica: l’impostazione assiomatica di Kolmogorov non dice cosa sia l’ essenza della probabilità ma si propone di definirne i postulati ed i teoremi che ne derivano applicabili tanto nell’impostazione classicista che in quella frequentista costruendo così un’algebra rigorosa della probabilità.

Calcolo combinatorio

Nella definizione classica della probabilità è necessario calcolare il rapporto trai casi favorevoli e quelli possibili, il calcolo combinatorio sviluppato nel corso del 17° secolo può consentire tale determinazione.

Permutazioni

Siano dati n oggetti diversi (ad es. lettere o numeri) e chiamiamoli a₁, a₂, a₃,… a_n . Il numero di disposizioni distinte di tali oggetti chiamate permutazioni è dato da:

1) P_n = 1x2x3x…xn = n! = fattoriale di n

La dimostrazione è elementare ricorrendo ad uno degli strumenti più potenti della matematica: l’induzione completa formalizzata da Peano nel suo quinto postulato dell’algebra: se una proposizione, chiamiamola P(n) è vera relativamente all’indice n dimostrando che è vera per l’indice n+1 è vera per tutti gli indici > di n.

Ora la 1) è ovviamente vera per n = 1 , ed anche per n = 2, per es. se gli elementi sono a e b abbiamo le permutazioni a,b e b,a e P₂ = 2! = 2 , ora ammettiamo che sia vera per l’indice n dimostriamo che è vera per l’indice n+1: in effetti ad ogni singola permutazione di n elementi corrisponderanno n+1 nuove permutazioni nelle quali il nuovo elemento a n+1 occuperà la prima, o la seconda,… o l’ n+1^na posizione.

Se gli elementi sono ora : a, b, c abbiamo da a, b : c,a,b ; a,c,b; a,b,c e da b, a: c,b,a; b,c,a; b,a,c; in totale 3! = 6 permutazioni.

Disposizioni senza ripetizioni

Siano dati ancora n elementi (ad es. lettere o numeri) differenti, chiediamoci quante disposizioni diverse di k elementi ciascuna (in cui conti anche l’ordine) si possono definire con gli elementi dati (disposizioni di n k a k). Utilizziamo ancora l’induzione matematica su k e dimostriamo che tale numero è dato da :

2) A^k_n = n (n-1)(n-2) …(n-k+1)

Tale relazione è vera per k =1 : le disposizioni sono gli n elementi a₁, a₂, …

che sia vera per k , proviamo che è vera per k+1.

A partire da ogni singola disposizione k a k costruiamone n-k di classe k+1 aggiungendovi in coda via via gli n-k elementi che non sono contenuti in essa. Otteniamo cosi in totale n (n-1)(n-2) …(n-k+1)(n-k) = n (n-1)(n-2) …(n-(k+1)+1) = A^k+1_n disposizioni come da 2).

In effetti l’insieme costruito è completo e non ha ripetizioni. Completo per costruzione e non ha ripetizioni perche ogni diposizione è diversa dall’altra: se l’elemento aggiunto in coda è uguale in 2 disposizioni le disposizioni dei suoi primi k elementi sono diverse per costruzione ed ipotesi induttiva, se i due elementi aggiunti sono diversi le due disposizioni risultanti sono diverse perché diverso l’ultimo elemento di esse

La relazione 2) può anche essere scritta come:

3 ) A^k_n = n! /(n-k)!

Disposizioni con ripetizioni

Si abbiano n elementi diversi (ad es. le 10 cifre del nostro sistema decimale, 0,1,2…,9), chiediamoci quante siano le disposizioni con ripetizione degli n elementi k a k , cioè di classe k. La risposta è immediata, utilizzando l’induzione ed il fatto che per k=1 le disposizioni sono ovviamente n.

Siano infatti n^k tali diposizioni, le disposizioni di classe k+1 si ottengono semplicemente aggiungendo in testa ad ognuna di quelle di classe k , gli n elementi. Avremo perciò n x n^k = n^k+1 disposizioni. Così nel nostro sistema decimale per la classe 2 avremo 10²=100 elementi, per la classe 3 10³=1000 elementi e così via.

Combinazioni senza ripetizioni (Combinazioni semplici)

Dati n oggetti diversi (ad es. esempio lettere, numeri..) a₁, a₂, …, a_n , cerchiamo quali siano le combinazioni k a k di questi elementi cioè gli insiemi di k elementi diversi di n dove non conti l’ordine secondo il quale essi si presentano.
La soluzione è immediata tenendo conto che nelle disposizioni A^k_n ogni insieme (o classe) distinto di k oggetti appare k! volte, stante la definizione stessa di disposizione che assume come differenti tutte le permutazioni di una stessa classe. Si ha dunque per il numero di combinazioni che indichiamo Cⁿ_k

Le combinazione di n elementi k a k entrano come coefficienti nello sviluppo del binomio di Newton - Tartaglia

Si ha:

termini dei simboli e sommando. Essa rappresenta quella esistente tra i termini del triangolo di Tartaglia di riga n e colonna k rispetto a quelli di riga n-1 e colonna k-1

Combinazioni con ripetizione

Il numero di combinazioni di n oggetti di classe k cioè k a k dove sono possibili le ripetizioni ma non conti l’ ordine è dato da :

Cioè pari alle combinazioni senza ripetizione di n+k+1 elementi k a k

Si possono reperire in letteratura diverse dimostrazioni , riportiamone una di brevità eccezionale ma che comporta la conoscenza di alcuni concetti:

a) Dati 2 insiemi A e B , essi hanno gli stessi elementi se si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi: ad ogni elemento di A corrisponde uno ed uno solo elemento di B e viceversa.

b) Gli oggetti possono sempre essere, senza perdere generalità, considerati dei numeri attribuendo loro degli indici numerici: ad elementi diversi indici diversi e lavorare sugli indici piuttosto che sugli oggetti

Orbene consideriamo una combinazione qualsiasi con ripetizioni dei numeri 1,2,…n di classe k, ordiniamola in modo che i k numeri di ogni classe, alcuni dei quali possono essere ripetuti, si susseguano in modo non decrescente cioè a₁≤a₂…≤a_k (ciò è possibile perché l’ordine non conta in una combinazione che rappresenta tutte le disposizioni possibili con quei determinati numeri a prescindere dall’ordine) aggiungiamo ora ai suoi elementi rispettivamente i numeri 0,1,2,…k-1 avremo la classe formata dai numeri:
a1, a₂+2, a₃+3 …+a_n+k-1.

Tutte queste classi sono formate da elementi diversi perché somme di una successione di numeri non decrescenti con una di numeri strettamente crescenti e sono tra di loro diverse perché somma termine a termine di una stessa successione dei termini crescenti 0, 1,2,3,…k-1 con successioni, non decrescenti, tra loro differenti per definizione. Ogni classe di composizione di n+k-1 numeri k a k viene rappresentata, a partire da quella composta dei termini minori: (1+0, 1+1, 1+3,…,1+k-1) a quella dei termini maggiori:
(n, n+1, n+2, n+3,…, n+k-1). Vi è così stabilita una corrispondenza univoca tra le composizioni con ripetizioni Pⁿ_k di n elementi k a k e le composizioni semplici di n+k-1 elementi k a k, C^n+k-1_k . Ragionamenti analoghi, partendo dalle composizioni semplici (senza ripetizione) Cn+k-1k , ordinando in modo crescente gli elementi di ogni classe e sottraendo 0,1,2,3,4,5,.., k-1, conducono alla corrispondenza univoca tra le due composizioni, stabilendosi così la corrispondenza biunivoca a), che conferma la tesi. In particolare per ogni combinazione (semplice) di n+k-1 elementi ordinata in modo crescente, i termini a₁- 0, a₂-1, a₃-2, …, an-(k-1) sono tutti positivi, non decrescenti, alcuni o tutti potendo essere uguali tra di loro.