Una variabile aleatoria continua ha densità di
probabilità uniforme, se la densità è data da:
; 0 altrimenti.
La probabilità che x sia compreso tra x1
x2 è data da:
Il valore medio di x è dato da:
E[X] =
Mentre da
E[x2] = (a2+ab+b2)/3
otteniamo la varianza:
Var (X) = E[x2] - E[X]2 = [(b-a)2]/12
Funzione di probabilità
esponenziale
La densità di probabilità esponenziale assume la
forma:
La funzione di ripartizione relativa è data da:
Il parametro λ
che normalizza ad 1 la probabilità
è detto intensità della distribuzione
La funzione generatrice dei momenti
E[etX] si trova subito esplicitando il valore
atteso o media di
etX :
Calcolando la derivata prima e seconda della 7)
nel punto 0 abbiamo:
φ’(0) = 1/λ = E[x] = valore
atteso di x
φ’’(0) = 2/ λ2 =
E[x2] = momento di second’ordine di x
da cui la varianza:
σ2 = E[x2]
- E[x]2 = 2/ λ2 – 1/ λ2 = 1/ λ2
Se consideriamo X come il tempo di attesa per
l’accadimento di un fenomeno quale un guasto di un componente
meccanico od il verificarsi di un terremoto, uno tsunami od
un’eruzione vulcanica, la 1) e la 3) e la 4) esprimono il fatto che
la probabilità del verificarsi del fenomeno non dipende dal tempo
trascorso cioè essa non ha “memoria”. Si ha infatti in questo caso:
P(X > s+t | X>t) = P(X>s) ed anche P(X > s+t, X>t)/P(X>t) = P(X >
s) e P(X>s+t) = P(X>s)P(X>t)
cioè la probabilità che non si verifichi il
fenomeno nel tempo
s (X>s) è indipendente dal tempo trascorso t a partire dal
quale si controlla il fenomeno. Se il fenomeno è il malfunzionamento
di un oggetto questo significa che esso si verifica
indipendentemente dalla sua età: è come se esso fosse sempre nuovo
di zecca.
La relazione
P(X> s+t) = P(X>t)P(X>t) è soddisfatta dall’esponenziale
giacché
e-λ(s+t) = e λseλt
Per la distribuzione esponenziale vale anche la
proprietà seguente:
Se X1, X2,…, Xnsono
variabili aleatorie esponenziali ed indipendenti di intensità
λ1,…, λn
la variabile aleatoria
Y corrispondente al minimo degli
Xi è esponenziale con parametro
In effetti la probabilità che
Y sia maggiore di
x equivale logicamente a
P(X1>x, X2>x,…, Xn>x)
cioè, essendo gli
X indipendenti, al prodotto delle probabilità
singole
Fig.1 -
Funzione densità
(f = λe-λx )della
distribuzione esponenziale.
Fig. 2 - Funzione della ripartizione
F = 1- e-λxdella distribuzione
esponenziale.
La funzione esponenziale descrive in modo
appropriato il decadimento radioattivo. Abbiamo che se
N0 è il numero di radio-nuclidi presenti
al tempo =
0, al tempo
t si ridurranno al numero
N espresso da:
N/N0 = e-λ
dove
1/λ è il tempo medio di decadimento al quale
N0 si riduce a
(1/e) N0 = 0, 36 N0
Derivando rispetto a
t abbiamo
dN/dt = - λ N0 e-λt = - λ N da
cui
dN/N = -λdt. Ciò indica che la probabilità di decadere
del radionuclide per unità di tempo è pari a
λ.
Funzione di
distribuzione gamma o di Eulero
Fig. 3 - Leonhard Euler (Basilea 1707, S. Pietroburgo
1783).
Uno dei più grandi matematici della storia. A lui si deve
la famosa identità:eiπ
+1= 0 che coinvolge i più importanti
numeri della matematica: e, i, π, 1, 0
La funzione di densità di probabilità gamma di
parametri
(α, λ) ha l’espressione:
dove la normalizzante
denota la funzione Gamma di Eulero ed ha l’espressione:
che ponendo
y = λx diventa:
Tale funzione ha
l’importante proprietà di essere ricorsiva per
α = numero intero
positivo. Integriamo ricordando
come date
u e
v due funzioni derivabili di
x, dal fatto che la derivata di
uv = (uv)’ è pari a
u’v + uv’ è pari a
u’v + uv’, consegue che:
, cioè integriamo “per parti”:
Essendo il primo termine del secondo membro nullo
λ/(λ-t)α1
Avendosi
per ogni intero n, si avrà:
Facendo i calcoli, la funzione generatrice di momenti è
data da:
Discende immediatamente che la somma di due o più
variabili aleatorie gamma
X1 X2,…, Xn indipendenti, di
parametri
(αi, λ), hanno una funzione generatrice data da
E[et(X1+X2+…+Xn)]
= E[etX1]
e la funzione densità è una gamma di parametri
La 8) con i parametri
(1, λ) diventa un’esponenziale di intensità
λ, per cui da quanto appena visto discende che la somma di n
variabili aleatorie esponenziali indipendenti aventi intensità
λ è una gamma di parametri
(n, λ).
Dalla funzione generatrice dei momenti si ricava,
con i metodi usuali, la media
μ= α/λ e la varianza
σ2 = α/λ2
La distribuzione
chi-quadro
Di fondamentale importanza per le analisi
statistiche è la distribuzione “chi-quadro”. Se
Zi sono variabili aleatorie indipendenti normali
standard, la variabile
è
una variabile chi-quadro a n gradi di libertà, indicata con:
La sua distribuzione è legata alla funzione gamma e si può dedurre
agevolmente utilizzando la funzione generatrice dei momenti.
Iniziamo con la funzione a 1 grado di libertà:
Abbiamo:
dx
che rimaneggiando fornisce:
Se
le variabili
Z sono n abbiamo:
Fig. 4 - Funzione densità chi-quadro per alcuni gradi di
libertà.
Questa è la funzione generatrice della
distribuzione gamma avente parametri
α = n/2 e λ = 1/2
La densità di probabilità della
é così:
La chi-quadro la cui probabilità di coda è
α viene di regola
indicata con
.
Si ha cioè:
La media e la varianza della
tende alla distribuzione normale per
n → ∞, cosiché
(X-n)/tende alla distribuzione normale standard.
Distribuzione “t” di
Student
Fig. 5 - Funzione densità "t" di Student per vari gradi
di libertà,"df"
Sia Z
una variabile aleatoria normale standard e
Cn una variabile chi-quadro con n gradi di
libertà,
Allora
definisce la distribuzione
“t” con n gradi di libertà
Tn~ tn (Student è il pseudonimo di
W.S. Gosset). Dal momento che, per la legge dei grandi numeri,
,
essendo
normali
standard, tende, con probabilità sempre più prossima a 1, a:
Tn per valori grandi di
n approssimerà la
distribuzione di Z.
La media e la varianza della “t” sono
rispettivamente:
μ = 0 , σ2 = n/(n-2)
Distribuzione di
Fisher “F”
Se
Cn e Cmsono due variabili aleatorie
chi-quadro con n ed m gradi di libertà, la funzione
Fn,m = (Cn/n)/Cm/m) ha la
distribuzione
“F” di Fisher con
n ed
m gradi di libertà.
La media e la varianza sono:
μ = m/(m-2), con m >2 e σ2
= 2 m2(n+m-2)/[m(n-4) (m-2)2 ],
con n >4.
Distribuzione campionaria
Sia dato un insieme, anche infinito, di oggetti
cui associamo dei valori numerici che chiamiamo popolazione. Se
ipotizziamo che esista una distribuzione di probabilità dei valori
assegnati essi si possono pensare come variabili aleatorie
indipendenti. Un sottoinsieme della popolazione costituito da n
variabili indipendenti avente la stessa distribuzione probabilistica
F preso in modo casuale, costituisce un campione della distribuzione
ipotizzata per la popolazione. Attraverso il campione si può fare
un’inferenza (un’ipotesi) su F, mai completamente nota (inferenza
parametrica o non parametrica).
Una funzione dei dati del campione costituisce
una “statistica”; le statistiche più comuni sono la media, la
varianza, la mediana, la moda. Ipotizziamo che la popolazione da cui
è estratto il campione abbia media
μ e varianza
σ.
Media campionaria
Sia dato un insieme di dati
Xi.La media campionaria è definita come:
Se il singolo dato si presenta con frequenza
assoluta
fi e
siano
k i valori distinti di
x = vi la media è:
La media campionaria intesa come variabile
aleatoria risulta avere come media la media
μ della popolazione. La sua varianza risulta essere:
Perché le
Xi sono indipendenti e per la proprietà della
varianza.
Il teorema del limite centrale ci consente
altresì di dire che la
segue
per n molto grande la distribuzione normale standard:
Mediana campionaria
Ordiniamo ora gli n valori
Xi minore al maggiore. Si definisce mediana il
valore che occupa la posizione
(n+1)/2 se
n è dispari, oppure la media aritmetica dei valori occupanti
la posizione
n/2 ed
n/2+1 se n è pari.
Moda
La moda campionaria di un insieme di dati è il
solo valore, se esiste, che ha la frequenza massima.
Se più valori hanno la frequenza massima ciascuno
di essi è definito valore modale. Nel caso di distribuzione continua
la moda è il massimo della funzione densità di probabilità.
Varianza campionaria
Dato il consueto insieme di valori
Xi , la varianza campionaria è data da:
La media della varianza campionaria è paria a
σ2: si dice che la varianza campionaria è uno
stimatore corretto di
σ2.
Abbiamo infatti:
Da cui:
Sviluppando la parentesi quadra, ricordando che:
si
ha:
da cui:
E(S2) = σ2
Le statistiche sopra viste nel caso riguardino
popolazioni normali con media μ e varianza σ2 hanno delle
distribuzioni seguenti:
Media campionaria
Dal momento che la somma di variabili normali
indipendenti è ancora un variabile normale.
Anche la media è normale con media
μ e varianza
σ2 /n. Avremo quindi:
Varianza campionaria
Abbiamo come si può verificare esplicitando i
calcoli:
Ora essendo il primo membro della 17) una
chi-quadro con n gradi di libertà, il secondo termine del secondo
membro, quadrato di una normale standard, una chi-quadro con un
grado di libertà, si può dimostrare ciò che anche a prima vista pare
plausibile:
cioè è una chi-quadro con n-1 gradi di libertà e
()̅
e S sono variabili aleatorie indipendenti.
denota la funzione Gamma di Eulero ed ha l’espressione:
è
una variabile chi-quadro a n gradi di libertà, indicata con:
La sua distribuzione è legata alla funzione gamma e si può dedurre
agevolmente utilizzando la funzione generatrice dei momenti.
Se
le variabili
.
tende alla distribuzione normale per
Allora
definisce la distribuzione
,
essendo
normali
standard, tende, con probabilità sempre più prossima a 1, a:
segue
per n molto grande la distribuzione normale standard:
si
ha:
)̅
e S sono variabili aleatorie indipendenti.
