Genova        
Numero 42, anno XI        
Novenbre 2011        

di Diego Rosa

Parte Quinta

Stime parametriche

Sia X₁, X₂,…, X_n un campione aleatorio tratto da una popolazione che ipotizziamo avere una distribuzione determinata, con uno o più parametri incogniti. Si pone naturalmente il problema: a partire dai dati X_i, quale è il valore del/dei parametri incogniti che è più plausibile (dal punto di vista probabilistico) ipotizzare? Due sono le modalità di approccio: con il metodo degli stimatori puntuali della massima verosimiglianza o con la stima degli intervalli di confidenza. 

Stima di massima verosimiglianza

La probabilità o la densità di probabilità congiunta del presentarsi dei valori X_i nel campione è una funzione f dei valori stessi condizionati dal parametro o dai parametri incogniti θ_i. Abbiamo cioè:

22) P = f(x₁, x₂,…,x_n/θ₁,…, θ_m)

La f è detta funzione di verosimiglianza o di “likelihood” in lingua inglese.

Si assume, come appare plausibile, che i valori incogniti θ_i siano quelli che rendono massima la funzione f, o, che è lo stesso, il logaritmo di f, cosa che talora agevola il calcolo. Se i valori del campione sono indipendenti la probabilità congiunta P (e quindi f) è il prodotto delle singole probabilità e dall’analisi matematica sappiamo che i valori delle variabili θ_i che massimizzano una funzione sono da ricercarsi tra quelli che annullano le derivati parziali prime.

Ipotizziamo per fare un esempio molto istruttivo che le X_i indipendenti siano dedotte da una popolazione di variabili aleatorie normali di media μ e deviazione standard σ incognite.

La funzione f sarà:

moltiplicando i fattori e calcolando il logaritmo abbiamo:

Le derivate parziali di tale logaritmo sono:

Ponendole = 0 si ottiene il sistema a due incognite μ e σ

che da per μ e σ le stime:

e le statistiche o stimatori di massima verosimiglianza per μ e σ sono risp.

La media dello stimatore per non da tuttavia, come abbiamo visto prima σ²  ma (n-1)/n σ².

Esso viene chiamato stimatore distorto , “biased estimator” in inglese.

Intervalli di confidenza

Sia abbia una statistica campionaria f( X_i … X_n) di una popolazione di cui non sono noti alcuni parametri caratteristici quali ad es. la media μ o lo scarto quadratico medio σ. La statistica è una variabile aleatoria come le variabili che la caratterizzano ed avrà perciò una sua distribuzione. A partire da essa si può, invece che determinare una stima puntuale dei parametri incogniti della popolazione, stimare degli intervalli numerici all’interno dei quali si può collocare con un certo grado di probabilità o, più precisamente, di confidenza il valore del parametro ricercato.

Sia data ad esempio una popolazione normale di media μ incognita e varianza σ² nota di cui si abbia un campione X_i la cui media campionaria sia . Sappiamo che la variabile ha media μ e scarto quadratico medio σ/√n. Ne consegue che la variabile standardizzata:
( - μ)/ σ/√n è normale standard cioè ~ N (0,1).
Dalle tavole di ripartizione della normale abbiamo ad esempio:
 

Che diventa:

Ottenuto dal campione il valore per la media , con il 95 % di confidenza la media μ della popolazione giace nell’intervallo indicato con = .

Intervallo di confidenza per la media di una distribuzione normale con varianza non nota.

Se per una popolazione normale la varianza non è nota, utilizzando la varianza campionaria.

 costruiamo la variabile la quale per quanto visto sopra è una variabile “t” di Student con n-1 gradi di libertà. La sua distribuzione, simmetrica rispetto a 0, è tabellata.

Indicando con 1- α la confidenza desiderata, con t_α/2,n-1 il valore di T la cui probabilità di superamento è pari ad α/2, abbiamo:

Rilevati dal campione = ed S = s con probabilità pari 1- α l’intervallo corrispondente alla 25) contiene il valore di μ.

Intervalli di confidenza per la varianza di una distribuzione normale

La statistica (n-1)S²/σ², dove è la varianza campionaria, che come abbiamo visto ha una distribuzione chi-quadro con n-1 gradi di libertà, cioè:

(n-1)S²/σ² ~  X²_n-1

Da questo possiamo dedurre che se desideriamo determinare un intervallo di confidenza = 1-α

per σ² abbiamo:

Determinato S = s l’intervallo ad una confidenza pari a 1-α  é:

Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali

Se X_i ed Y_i sono due campioni di popolazioni normali di medie μ₁ ed μ₂  e varianze σ1 e σ2 rispettivamente, le medie di X e Y saranno μ1 ed μ2 e le varianze σ1²/n e σ2²/n . La differenza delle medie - ̅ sarà ancora una variabile normale con media
μ1 - μ2 e varianza σ1²/n + σ2²/n (la media di una somma è = alla somma delle medie e la varianza della differenza di due variabili indipendenti è ancora = alla somma delle varianze, giacché x-y = x+(-y) e Var (–y) = Var [ (-1)y)]= (-1)² Var (y)) = Var (y))

Gli intervalli di confidenza si determinano come per la variabile normale.

Se le σ1 e σ2 non sono noti ma uguali, l’intervallo di confidenza è fornito dalla distribuzione” t di Student e si ha ipotizzando che le varianze incognite siano uguali:

Dove S_p ha l’espressione:

Test di significatività

Si abbia una statistica di un campione tratto da una popolazione di cui non conosciamo uno o più parametri quali ad esempio la media μ o la varianza σ². Può accadere che si debbano fare delle ipotesi su tali parametri, ipotesi che possono essere vere od errate. Si chiamano ipotesi nulle, H₀, le ipotesi da confermarsi a partire dai dati del campione, ipotesi alternative, H₁ le ipotesi differenti di quelle nulle.

Se, in funzione dei dati del campione, rifiutiamo l’ipotesi H₀ che in realtà è vera e dovrebbe essere accettata, commettiamo un errore di tipo I. Se al contrario accettiamo l’ipotesi H₀ che dovrebbe in realtà essere rifiutata, commettiamo un errore di tipo II.

Stime dei valori medi

Si dia un campione di una popolazione di cui sia noto lo scarto quadratico medio o deviazione standard σ ed il cui valore medio sia . Si faccia l’ipotesi H₀ che la media della popolazione sia o possa essere attorno ad μ₀ e ciò comunque non sia in contraddizione con i dati campionari, a fronte dell’alternativa H₁ che sia μ , maggiore, minore o comunque di versa da μ₀. L’ipotesi H₀ non sia del tutto casuale ma confortata da alcuni elementi di merito così che imponiamo che il rischio di rifiutare H₀ anche se vera, commettendo un errore di tipo I, sia basso o molto basso. Fissando ad esempio delle probabilità del 5% o dell’1%, rifiuteremo l’ipotesi H₀ al “livello di significatività” di 0,05 o 0,01 se la media cadrà a una distanza abbastanza grande da μ₀.
Se la popolazione è normale o sufficientemente numerosa, la media campionaria di media μ₀ avrà varianza σ²/n sicché la corrispondente variabile standardizzata una gaussiana standard

Avremo che accetteremo l’ipotesi nulla H₀ indicando con α il livello di significatività se:

A fronte di H₁ μ > μ₀

A fronte di H₁ μ < μ₀

A fronte di H₁ μ μ₀

Dove z_α è tale che la probabilità che la variabile normale standardizzata Z sia maggiore di z_α è α. Analogalmente per z_α/2

Fig. 8 - Area di rigetto dell’ipotesi nulla: H₀   μ = μ₀  a fronte di  H₁ μ₀

La probabilità che la variabile normale standard Z sia maggiore del valore standardizzato del campione o “statistica del test” è chiamata probabilità p – dei dati.

Qualora la varianza della popolazione non sia nota, la si può sostituir con la varianza campionaria:

In tale contesto la variabile aleatoria ha la distribuzione “t” di Student con n-1 gradi di libertà. Valutazioni relative alle ipotesi H₀ ed H₁ si porteranno avanti come visto sopra considerando la variabile ed utilizzando le curve e le tabelle relative alla distribuzione di questa variabile.

Verifica se due popolazioni hanno la stessa media

Dati due campioni indipendenti X₁, X₂,…, X_n e Y₁,Y₂,…,Y_m di due popolazioni normali aventi medie μ_x e μ_y e varianze σ_x e σ_y, si voglia verificare la plausibilità dell’ipotesi H₀, che le medie delle due popolazioni siano uguali: μ_x = μ_y cioè che μ_x - μ_y = 0 a fronte dell’ipotesi H₁, che μ_x μ_y.

Consideriamo la differenza delle due medie campionarie, - , che ha media μ_x - μ_y e varianza , tale distribuzione è ancora normale per cui si ha: , tale distribuzione è ancora normale per cui si ha:

cioè è normale standard.

La statistica, se l’ipotesi H₀ è vera, diventa: e si rifiuterà o accetterà H₀

Cioè se il valore assoluto di è > oppure ≤ di z_α/2

Se le varianze delle popolazioni non sono note ma uguali , si calcoleranno le varianze campionarie

e la varianza mediata

La statistica del test

avrà la distribuzione “t” di Student con n+m-2 gradi di libertà.

Si rifiuterà H_o =  (μ_x = μ_y ) se il valore assoluto di T è > t_α/2,n+m-2 si accetterà in caso contrario, dove come sopra t_α/2,n+m-2 è il valore della variabile t che ha la probabilità di essere superata pari ad α/2 sulla curva di Student standardizzata a n+m-2 gradi di libertà, essendo α il valore di significatività prescelto.

Verifica di ipotesi sulla varianza di popolazioni normali

Sia data l’ipotesi H₀ che la varianza di una popolazione normale sia σ₀ a fronte dell’ipotesi H₁ che sia σ σ₀ .

Da quanto visto precedentemente la variabile (n-1)S²/ σ²  ha una distribuzione chi-quadro con n-1 gradi di libertà. Abbiamo cioè:

Se H₀ è vera σ² = σ₀²  e sarà:

Si accetterà H₀ con livello di significatività α se:

Si rifiuterà H₀ in caso contrario

Fig.9 - Funzione chi-quadro per alcuni gradi di libertà

Verifica di ipotesi sulla differente varianza di due popolazioni normali

Siano dati due campioni di due popolazioni normali indipendenti X₁,…, X_n e Y₁,…, Y_m

di varianza σ_x²  e σ_y². Si debba verificare l’ipotesi H₀ : σ_x² = σ_y²  contro σ_x²   σ_y².

Definite come sopra le due varianze campionarie e  (n-1)

sono due chi-quadro con n-1 ed m-1 gradi di libertà risp. Il loro rapporto ha una distribuzione F di Fisher con parametri n-1 e m-1, e se H₀ è vera si ha:

E si accetterà H₀ con grado di significatività α se:

Avendo indicato con F_α/2,n-1,m-1 o F_{1-α/2,n-1,m-1} il valore della variabile F il cui depassamento ha una probabilità pari ad α/2 o ad 1-α/2 sulla curva della distribuzione di F.

Si rifiuterà H₀ in caso contrario.