Genova        
Numero 44, anno XII        
Maggio 2012        

di Diego Rosa

Parte Settima

Abbiamo visto che i valori stimati A e B per i parametri e di una regressione lineare Y = + x_i utilizzando il metodo dei minimi quadrati hanno  l’espressione

Mentre la somma dei residui è data da:

Con ancora:

= media dei valori rilevati Y_i

= media degli ingressi x_i

Abbiamo supposto che i valori rilevati Y_i siano delle variabili aleatorie normali con valore medio +x_i e varianza per cui A, B e SS_R saranno anch’essi variabili aleatorie. Si ha utilizzando l’espressione e le proprietà della media E e della varianza Var:

Inoltre A e B in quanto combinazioni lineari delle variabili normali Y_i risultano essere variabili normali cioè:

mentre SS_R/ ha distribuzione chi-quadro con n-2 gradi di libertà:

SSR/~x2 n-2. Discende dalle 4) che

è una normale standard e

è la distribuzione t di Student con n-2 gradi di libertà t_n-2.

A partire da tali formulazioni si può stabilire test statistici ed intervalli di confidenza sui parametri della regressione e β.

L’inferenza sulla decidere se accettare l’ipotesi H₀ che β sia = β₀ contro l’ipotesi H₁ che 

β sia β₀ (od ancora maggiore oppure minore di β₀) si determina dalla distribuzione t di Student con n gradi di libertà, individuando nelle curve o nelle tabelle l’intervallo   

è il valore di T la cui probabilità di superamento è = /2 od essendo il livello di significatività prescelto. 

Se il valore di T chiamiamolo T0 dato da

è compreso in questi intervalli

l’ipotesi H₀ è accettabile. In un altro modo definiamo “P dei dati” la probabilità che il valore assoluto di t sia > di quello di T₀. Si rifiuterà l’ipotesi nulla che β sia da β₀ se tale probabilità è <  .

Per determinare gli intervalli di confidenza (bilaterale) di β ad es al 1-γ si consideri che ciò equivale a determinare di t entro il quale

si colloca

con la probabilità pari a 1-γ

Questo intervallo, data la simmetria della curva “t” attorno allo 0, è -t γ/_2,n-2 <T< t γ/_2,n-2, si ha cioè:

Ciò equivale a:

E l’intervallo cercato per β è:

Analogalmente per il parametro si può procedure per il parametro la cui variabile di Student associata è

Si ottiene ad es. per l’intervallo di confidenza bilaterale al livello 1-γ

Importante è il caso in cui si debba verificare l’ipotesi che non vi sia correlazione tra le variabili x ed y cioè che H_o = 0 se β = 0

In tal caso si ha:

e si rifiuta Ho al livello di significatività γ se

dove t γ/2, n-2 è il valore di T la cui probabilità

P(T > t _{γ/2, n-2}) = γ/2

Definite le inferenze su A e su B è possibile definire la risposta media in termini di intervallo di confidenza, attorno ad A+B x₀, di + βx₀ per un valore di ingresso x₀ si ha, tenendo conto della media di A+B x₀=+βx₀

per la radice quadrata di SSR/ ~ x² n-2 si ha che:

E l’intervallo di confidenza al livello 1-γ di (+βx₀ ) diventa:

Esso è minimo per x_{0 =} ove assume il valore:

Con analoghi ragionamenti si può determinare l’intervallo di confidenza, attorno al valore A+ Bx₀, della risposta Y ad un ingresso x₀. Sappiamo che  

per cui la loro differenza standardizzata sarà

che diventerà una t con n-2 gradi di libertà dividendo per (SSR/ ((n-2))

E l’intervallo di confidenza di Y per un ingresso x0 al livello 1-C sara:

Fig. 3 - Accumulo della neve a Belluno (Castion) e Trento( Gardolo).
Anni 2000 / 2001-2011/2012

Nella fig. 3 è riportato il diagramma di dispersione della caduta di neve a Belluno e Trento negli ultimi 12 anni. Lo scarto interannuale è molto grande ed il coefficiente di determinazione R2 è attorno al 2 % in entrambi i casi ciò significa che il 98% della variabilità delle Y è imputabile alla aleatorietà propria del fenomeno e non già ad una tendenza evidenziabile nel corso dei 12 anni considerati. La correlazione tra le nevicate a Belluno e Trento è invece molto alta, r = 0,84 indice che le due località fanno parte di un’area climatica molto simile.

Verifichiamo, per Belluno, se l’ipotesi H₀ che β sia = 0 è sostenibile ad un certo livello di significatività γ, diciamo del 10%. 

Abbiamo S_XX=182   S_RR=15336   B=0,43   n=13

Da cui:

L’ipotesi H₀ non può essere assolutamente respinta.

Fine settima parte