Genova        
Numero 47, anno XIII        
Gennaio 2013        

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di Diego Rosa

Parte Ottava

Abbiamo visto come definire, attraverso il metodo dei minimi quadrati, i parametri di una retta (retta di regressione) che approssimi al meglio i dati delle risposte Y_i agli ingressi x_i evidenziabili in un diagramma di dispersione come quello di Fig. 1.

La retta interpolatrice pare ben rappresentare la  relazione  fra  i dati. Vediamo invece Il diagramma di dispersione di Fig. 2. La retta interpolatrice lineare in questo caso non pare adatta. Piuttosto si evidenzia una relazione polinomiale, in questo caso quadratica.

Applichiamo ancora il metodo dei minimi quadrati.

La relazione ipotizzata è la seguente:

Dove “e” rappresenta come al solito l’errore causale,  variabile aleatoria normale di media nulla. Per determinare i valori B₀, B₁, B₂, stima dei corrispondenti β₀, β₁, β₂ , rendiamo minima la somma dei quadrati dei residui SSR (n = numero  di coppie di valori):

Ponendo = 0 le  rispettive derivate parziali  rispetto a B₀, B₁ B₂, otteniamo:

Sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite B₀, B₁, B_2, immediatamente determinabili.

Valori estremi. Teoria di Gumbel

Si abbiano ora n eventi meteorologici od idrologici (denotanti ad esempio la  pioggia massima nelle 24 ore in un anno  o la portata  massime di piena  annuale di un corso d’acqua)  e sia m l’ordine (o rango) dei loro valori ordinati in   senso decrescente tale che  ad es.  ad m = 1 corrisponda il valore più grande.

In un tale ordinamento al valore di rango m si attribuisce (secondo Weibull) una probabilità di superamento  p = m/n+1 cui si fa corrispondere un tempo di ritorno T_r =  1/p = (n+1)/m. T_r rappresenta il tempo stimato entro il quale si può ritenere che avvenga, in media, un evento avente un valore uguale o superiore a quello indicato.

La probabilità di non superamento che ne deriva è  pari a:

1) P = 1-p= 1-1/T_r

La probabilità che tutti gli n eventi osservati (statisticamente indipendenti) e quindi anche il più grande di essi  abbiano un valore  minore od uguale ad z è dato, per il pricipio delle  probabilità composte, da  F(z) = [P(z) ]ⁿ che costituisce la distribuzione del valore estremo tra n valori indipendenti.

La densità di probabilità che ne consegue è: f(z) = F(z)’= n P^n-1(z) P(z)’

A partire da tale costatazione  Gumbel ha potuto dedurre la sua teoria sulla frequenza dei valori estremi (tra le più usate in idrologia e climatologia) che porta alla curva di durata o frequenza di non superamento (pari a 1-1/T_r) seguente (funzione a doppio esponenziale):

2) F(y) = 1 -1/T_r   = exp(-exp(-y))

Dove y  è la variabile ridotta data da :

 3) y = α (z-N)

Con  N = valore più probabile  o norma della distribuzione ed  α un parametro dipendente dal numero delle osservazioni  e dalla distribuzione stessa.

Dalla 2) si ha :

4) y = -ln[-ln(F(y))]

Dunque dato un dato valore del tempo di ritorno T_r, attraverso la 2) e la 4) si determina y ed  attraverso la 3) il valore  di z

Risulta che:

N = M - 0,45 σ

Essendo M la media  e  σ lo scarto quadratico medio dei valori di x

In definitiva si ha sostituendo tali valori nella 3) e ricavando z+:

4) z = M + (0,77y – 0,45) σ

Per y = 0  risulta che  z = N da cui F(0) = exp(-1) = 1/e = 0,3679 che è la probabilita di non superamento della norma della distribuzione  (sarebbe = 0,5 se essa fosse normale gaussiana).

I valori dati dalla 4) rappresentano una retta in un diagramma cartesiano z, y mentre

M e σ si possono dedurre dai dati delle osservazioni  di z = zi  mediante le relazioni:

α ed N si potrebbero anche dedurre utilizzando il metodo dei minimi quadrati, linearizzando i dati osservati z in funzione di y fornito dai  tempi di ritorno Tr = (n+1)/m dell’ordinamento di Gumbel. Ma  le due rette non coincidono, ad es. il coefficiente di y per Gumbel è proporzionale allo scarto quadratico medio σ  delle  osservazioni mentre nel caso dei minimi quadrati esso è dato da:

, essendo lo scarto quadratico =

La 2) prende anche il nome di distribuzione del valore estremo di tipo I

Come esempio applichiamo il metodo Gumbel, alle precitazioni massime in 24 h alla stazione di Genova – Albaro collocata presso il dipartimento DICAT dell’Università.

Tab. 1 - Piogge max in 24 h a Genova –Albaro. Anni 1990-2011

I valori della media  M e dello scarto quadratico medio σ risultano:

M =  175 mm, σ = 105 mm

Ordinando i dati in ordine crescente con il rango abbiamo ancora la tabella seguente:

Tab. 2 - Piogge max in 24 h a Genova –Albaro per gli anni 1990-2011ordinate in senso crescente

Da questi dati si sono ricavate le curve delle precipitazioni rilevate e previste dalla teoria di Gumbel con estrapolazione fino a 400 anni.

Si ha:

6) z = 175 + (0,77y – 0,45) 105

Per T_r = 100 anni abbiamo F(y) = 1 -1/Tr   = 0,99 ed y = 4,6 da cui z = 400mm/24h

Per T_r = 200 anni abbiamo F(y) =  1 -1/Tr   = 0,995 ed y = 5,29 da cui z = 555/24h

Per T_r = 400 anni abbiamo F(y) =  1 -1/Tr   = 0,9975 ed y = 5,99 da cui z = 612/24h

Si puo notare che l’evento del 27/9/1992 con 429 mm/24h  secondo la statistica di Gumbel avrebbe un tempo di ritorno plurisecolare

Fig. 3 - Piogge massime a Genova – Albaro in 24 h secondo la teoria di Gumbel